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Principales étapes de la construction :

- on trace un triangle équilatéral permettant de construire la demi-droite [AC)
- on trace un angle droit de sommet B et on trace la bissectrice de cet angle pour pouvoir construire la demi-droite [BC)
- on trace la médiatrice de [AB] pour construire le milieu I de [AB] puis le cercle de diamètre [AB]

2°) AKB est un triangle rectangle en K car K est un point du cercle de diamètre [AB]. De plus l'angle de sommet B de ce triangle mesure 45 °. On en déduit que l'angle de sommet A de ce triangle mesure également 45 ° (car la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°). Donc AKB est un triangle ayant des angles de sommet B et de sommet C égaux. C'est donc un triangle isocèle de sommet K. On en déduit donc que KA = KB.
K, qui est équidistant de A et de B, est donc un point de la médiatrice de [AB]. Comme I est le milieu de [AB], I est aussi un point de la médiatrice de [AB]. Donc (KI) est bien la médiatrice de [AB].

3°) K et L étant des points situés sur le cercle de diamètre [AB], (AL) est prependiculaire à (BL) et (AK) est perpendiculaire à (BK). Donc (BL) et (AK) sont deux hauteurs du triangle ABC. Ces hauteurs se coupent en O. Donc O est l'orthocentre du triangle ABC. Comme (CH) est la troisième hauteur du triangle ABC, (CH) passe aussi par l'orthocentre O du triangle ABC. Donc, C, O et H sont alignés.

4°) (CH) est la hauteur issue de C du triangle ABC donc (CO), qui est la même droite que (CH), est perpendiculaire à (AB). Par ailleurs, (KI) est la médiatrice de [AB] donc (KI) est également perpendiculaire à (AB).
IKCO est donc un trapèze (car les droites (CO) et (KI) qui sont perpendiculaires à une même droite sont nécessairement parallèles).